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摘要：

本文提出了一種新型光滑粒子流體動力學（SPH）模型，用于提高顆粒材料大變形分析的精度與穩(wěn)定性。為消除巖土工程SPH應(yīng)用中常見的失穩(wěn)后過程偽應(yīng)力場，本研究構(gòu)建了創(chuàng)新的應(yīng)力擴散項。通過重正化技術(shù)提出新型邊界處理方法，為巖土工程應(yīng)用提供具有一階一致性的壁面邊界條件，該方法能有效處理尖銳拐角等復(fù)雜幾何形態(tài)。系列算例驗證表明：該邊界構(gòu)造即使采用較粗顆粒分辨率仍能提升計算精度；應(yīng)力擴散項可顯著降低大變形下影響應(yīng)力場的數(shù)值噪聲，獲得平滑應(yīng)力分布。最終將所建SPH模型應(yīng)用于顆粒流與隧道掌子面坍塌模擬，結(jié)果顯示其與實驗數(shù)據(jù)吻合良好且具有收斂性。

引言：

涉及大變形的地球物理流動與許多自然現(xiàn)象和工程應(yīng)用密切相關(guān)，包括雪崩和巖崩、災(zāi)害防治中的泥石流、邊坡穩(wěn)定性中的滑坡、抗震設(shè)計中的土壤液化以及大壩維護中的內(nèi)部侵蝕。數(shù)值分析是研究地球物理流動中漸進式破壞并預(yù)測其潛在災(zāi)難性后果的有力工具，然而自由表面的存在和極大的變形是此類流動建模的主要挑戰(zhàn)。

在計算巖土力學中，最廣泛使用的預(yù)測工具基于有限元和有限差分方法。這些方法在求解偏微分方程 (PDEs) 方面非常高效，并已廣泛應(yīng)用于巖土工程問題的研究。盡管基于網(wǎng)格的方法取得了成功，但網(wǎng)格的使用仍然帶來一些數(shù)值上的困難，例如網(wǎng)格畸變和區(qū)域離散化，這阻礙了它們在大變形和自由表面問題中的應(yīng)用，例如在顆粒流和顆粒材料的失效后分析中遇到的問題。網(wǎng)格再生技術(shù)為解決網(wǎng)格畸變問題提供了一種可能的解決方案，然而這計算成本高昂且并不總是實用。

與基于網(wǎng)格的方法相比，無網(wǎng)格方法為大規(guī)模變形問題提供了更有效的解決方案，其中消除了網(wǎng)格連接性。用于顆粒材料和巖土工程應(yīng)用的無網(wǎng)格方法示例包括光滑粒子流體動力學 (SPH)、物質(zhì)點法 (MPM)和粒子有限元法 (PFEM) 。其中，SPH 可以被視為一種真正的無網(wǎng)格、拉格朗日方法。在 SPH 中，物理域被離散為一組拉格朗日粒子，這些粒子攜帶宏觀場屬性，并隨材料速度移動。粒子之間的相互作用由稱為光滑核函數(shù)的權(quán)重函數(shù)控制。由于采用局部插值來評估每個粒子的場變量，因此不需要背景網(wǎng)格來積分控制偏微分方程。這些特性使得 SPH 非常適合于涉及高度非線性、自由表面和大變形的問題。

盡管 SPH 最初是由 Gingold and Monaghan和 Lucy為天體物理問題開發(fā)的，但在過去的幾十年里，它已被應(yīng)用于廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，包括流體動力學、固體斷裂、多相流、土-水相互作用以及泥石流。SPH 在計算巖土力學中的應(yīng)用始于 Bui et al.。在他們的工作中，采用相關(guān)聯(lián)和非相關(guān)聯(lián)塑性流動法則的彈性-理想塑性 Drucker-Prager 模型被成功地應(yīng)用于 SPH 格式中，用于研究粘性土和非粘性土的破壞后流動。隨后，各種嚴格的本構(gòu)模型，如 Bingham 流動模型、率相關(guān)粘塑性模型、亞塑性模型、基于臨界狀態(tài)的本構(gòu)模型和被納入 SPH 框架中以模擬不同的流動行為。此外，也有若干研究致力于消除 SPH 在大變形巖土力學問題中的缺點，例如拉伸不穩(wěn)定性，這些研究將 SPH 與其他方法相結(jié)合，例如 Taylor-Galerkin SPH和 Stress-Particle SPH。

在大多數(shù)現(xiàn)有的巖土工程 SPH 應(yīng)用中，重點主要放在運動學預(yù)測上，并且與實驗觀察相比獲得了令人滿意的結(jié)果。然而，在分析應(yīng)力分布時，在大變形下觀察到高頻短波長的振蕩。類似于在流體弱可壓縮 SPH 中觀察到的壓力波動，這種偽應(yīng)力場影響了 SPH 方法的精度并降低了其預(yù)測能力，因為應(yīng)力的準確預(yù)測對于一些實際應(yīng)用（例如模擬泥石流對結(jié)構(gòu)的影響）非常重要。Nguyen et al.最近提出的應(yīng)力正則化技術(shù)通過在整個域上執(zhí)行濾波器，以特定的時間頻率重新評估和重新分配每個粒子的應(yīng)力，為偽應(yīng)力場提供了一種解決方案。

Nguyen et al. (2017) 建議使用移動最小二乘 (MLS) 插值進行應(yīng)力正則化以實現(xiàn)一階校正。在他們的工作中，正則化技術(shù)成功地過濾了應(yīng)力場中的高頻數(shù)值噪聲。然而，在 SPH 中使用濾波技術(shù)的一個常見問題是，對于長時間模擬，場變量可能會被過度濾波，從而影響所模擬過程中涉及的物理機制。此外，濾波過程本身需要對整個域進行額外的粒子掃描，這計算成本昂貴，特別是對于大尺度問題。因此，有必要尋找一種替代方法來進行應(yīng)力平滑，同時能夠保持動量守恒和一致性。

與 SPH 相關(guān)的另一個重要問題是邊界條件的處理。數(shù)值模擬的準確性和魯棒性高度依賴于 SPH 模型中采用的邊界條件的性能。對于 SPH 在巖土力學中的應(yīng)用，最廣泛使用的邊界處理是 Bui et al. (2008) 提出的方法。在他們的工作中，對于邊界附近的土體粒子，鄰近邊界粒子的應(yīng)力值被設(shè)定為與該土體粒子相同，從而在固體邊界附近給出局部均勻的應(yīng)力分布。無滑移邊界條件是通過如 Morris et al. (1997) 中所述為邊界粒子構(gòu)建人工速度來施加的。后續(xù)研究提出了對 Bui 邊界條件的若干修正。Peng et al. (2015) 認為 Bui 對邊界粒子應(yīng)力的處理可能無法保證無穿透條件，并提議將邊界粒子應(yīng)力張量的對角分量取為所關(guān)注土體粒子的最大值，而非對角分量設(shè)定為相同；這確保了邊界產(chǎn)生足夠大的壓力。Chalk et al.對同一問題提出了不同的修改，他們采用單層虛擬壁面粒子施加排斥力以確保無穿透條件。另一種可能的邊界處理依賴于使用虛擬粒子和重正化技術(shù)。虛擬邊界粒子的場量（例如應(yīng)力、速度）通過 Shepard 校正核函數(shù)從其鄰近的土體粒子外推，以給出零階一致性。也值得提及 Douillet-Grellier et al.和 Zhao et al.在開發(fā)無邊界粒子的應(yīng)力邊界條件方面的工作。他們處理的基本思想是通過在動量方程中包含一個額外的應(yīng)力項來補全邊界附近粒子的截斷核支持。這種類型的 Dirichlet 壁面邊界條件可以在需要邊界應(yīng)力時應(yīng)用，例如在三軸試驗、巴西試驗和硬幣狀裂紋問題的模擬中。

可用于 SPH 巖土工程應(yīng)用的邊界處理技術(shù)最多只能確保達到零階一致性。邊界處理中一致性的缺乏可能導致邊界附近應(yīng)力場的預(yù)測不佳。此外，盡管許多這些邊界方法在簡單幾何形狀的測試案例中表現(xiàn)良好，但它們的性能尚未在更復(fù)雜的幾何形狀下進行評估。

本工作開發(fā)了一種新方法，可以最小化 SPH 模擬巖土力學問題中常見的偽應(yīng)力場，并解決現(xiàn)有邊界條件的一些局限性。受流體動力學中密度擴散方案的啟發(fā)，該方案提供了一種一致的數(shù)值算法來消除壓力噪聲和提高穩(wěn)定性，本研究考慮了擴散過程以改進應(yīng)力場。為了精確解析邊界附近的應(yīng)力分布同時能夠處理復(fù)雜幾何形狀，本研究對 Marrone et al.提出的固定鬼粒子技術(shù)進行了修改來處理壁面邊界條件。據(jù)作者所知，這是此類邊界技術(shù)首次擴展到在 SPH 中模擬帶應(yīng)力的彈塑性固體。與 Marrone et al.中使用 MLS 插值來評估流動量不同，本文采用 Liu and Liu (2006) 提出的修正 SPH 插值來恢復(fù)邊界處的一階一致性。此過程可以在單個循環(huán)內(nèi)實現(xiàn)，從而最大限度地減少計算成本。

本文剩余部分組織如下：第 2 節(jié)簡要描述了控制方程和本構(gòu)模型。隨后，第 3 節(jié)給出了控制方程的 SPH 離散化以及數(shù)值擴散項的發(fā)展。第 4 節(jié)詳細描述了一階一致壁面邊界處理。在第 5 節(jié)中，通過幾個驗證案例評估了新 SPH 方案的準確性和魯棒性，包括庫埃特流、簡單剪切試驗、帶楔形體的靜態(tài)土體、二維顆粒柱坍塌和隧道掌子面坍塌。最后，第 6 節(jié)給出了主要發(fā)現(xiàn)和結(jié)論。

結(jié)論：

本文提出了一種用于巖土材料大變形分析的新型SPH方法。引入了一種采用固定鬼粒子技術(shù)并結(jié)合一階一致性插值的新型無滑移/自由滑移邊界處理方法。此類邊界方法在SPH解決巖土工程問題中的應(yīng)用尚屬首次。這種新的邊界公式適用于復(fù)雜幾何形狀，并被證明能夠提供精確的應(yīng)力和速度預(yù)測。針對大變形下偽應(yīng)力場這一SPH模擬巖土材料時的常見問題，提出了一種改進方案，即在應(yīng)力中引入數(shù)值擴散項。本文討論了幾種構(gòu)建擴散項的方法，并與新的擴散項算法進行了比較。結(jié)果表明，該算法能夠在平滑數(shù)值噪聲的同時，保持邊界處的一致性。這種處理方法易于實現(xiàn)，且不需要額外的、成本高昂的應(yīng)力插值過程。庫埃特流、復(fù)雜幾何形狀中靜態(tài)干土的模擬結(jié)果顯示了速度和應(yīng)力分布的收斂且精確的預(yù)測，證明了所提出技術(shù)的準確性、魯棒性和適用性。該新方案最終被應(yīng)用于顆粒柱坍塌和隧道掌子面坍塌的模擬，結(jié)果顯示數(shù)值與實驗結(jié)果高度吻合，并提供了平滑的應(yīng)力場。