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摘要：

提出了一種將光滑顆粒流體力學(xué)(SPH)與有限元分析(FEA)相結(jié)合的新方法，以解決模擬顆粒介質(zhì)與剛性固體相互作用中的大變形過程的計(jì)算難題。在自由表面、實(shí)體邊界和SPH/有限元界面處引入虛擬粒子保持了邊界和界面附近的粒子采樣精度。提出的在SPH/FEA模型中應(yīng)用初始應(yīng)力場的方法可以模擬約束條件下的加載試驗(yàn)，這在以往的研究中很少對(duì)SPH進(jìn)行模擬。SPH/FEA方法通過模擬雙軸壓縮試驗(yàn)、淺基礎(chǔ)承載力和顆粒介質(zhì)中的輪式運(yùn)動(dòng)來評(píng)估。雙軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果與單獨(dú)用有限元法建立的參考解基本一致。SPH/FEA模擬得到了令人滿意的淺基礎(chǔ)承載力估計(jì)，并適當(dāng)?shù)夭蹲搅耸芊植己奢d作用的邊坡的土壤破壞機(jī)制。由于SPH/FEA方法可以成功地捕捉顆粒狀基體與以規(guī)定速度運(yùn)動(dòng)的侵入體(如車輪)之間的接觸或失去接觸，因此，顆粒狀介質(zhì)中輪式運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)模擬比通過阻力理論(RFT)獲得的速度場預(yù)測更為真實(shí)。

引言：

許多巖土工程問題涉及大變形，發(fā)展足夠的計(jì)算方法來解決這些問題對(duì)工程實(shí)踐至關(guān)重要。在離散元法(DEM)中，感興趣的地質(zhì)材料由顆粒元素表示。根據(jù)為保證平衡而產(chǎn)生的接觸力，計(jì)算粒子的位移場和速度場。每個(gè)粒子都受到重力加速度、彈性接觸力以及相鄰相互作用粒子的耗散法向力和摩擦力的作用。DEM非常適合分析顆粒柱倒塌等小尺度土力學(xué)問題和土/固相互作用，但由于其計(jì)算成本，其在高分辨率問題中的應(yīng)用受到限制。DEM模型需要大量參數(shù)，如粒徑、摩擦系數(shù)和顆粒形狀。盡管DEM模型對(duì)這些參數(shù)很敏感，但目前還沒有系統(tǒng)的方法來有效地校準(zhǔn)DEM模型。例如，復(fù)制彈塑性、欠塑性或粘彈性行為需要大量的計(jì)算工作。土壤/固體相互作用模型通過組合使用DEM和有限元法，但DEM/FEM方法的使用仍然受到校準(zhǔn)挑戰(zhàn)和計(jì)算成本的阻礙。

物質(zhì)點(diǎn)法(MPM)也采用粒子元來離散域，但與DEM不同的是，物質(zhì)點(diǎn)由一組相鄰的粒子表示，這些粒子被賦予連續(xù)介質(zhì)力學(xué)本構(gòu)模型。然后可以求解質(zhì)點(diǎn)處的耦合微分方程，以求解位移和應(yīng)力等場變量。MPM被用于解決飽和粘土侵入或砂柱坍塌等復(fù)雜問題。雖然MPM在研究土-結(jié)構(gòu)相互作用問題上取得了成功，但它也有一定的局限性。首先，在背景網(wǎng)格上定義場變量，背景網(wǎng)格的作用與有限元分析(FEA)中的網(wǎng)格類似。在大多數(shù)MPM軟件包中，一旦模擬開始，背景網(wǎng)格保持不變，這對(duì)于涉及復(fù)雜幾何形狀和大變形的問題是一個(gè)限制。其次，MPM要求使用均勻大小的顆粒對(duì)整個(gè)土壤域進(jìn)行建模。第三，已知MPM對(duì)固體力學(xué)的小變形問題產(chǎn)生不準(zhǔn)確的結(jié)果。與使用純MPM模型相比，在預(yù)計(jì)變形較小的區(qū)域使用FEM可以在某些情況下提高計(jì)算的準(zhǔn)確性。然而，將材料點(diǎn)模型的網(wǎng)格與有限元模型的網(wǎng)格耦合會(huì)影響網(wǎng)格單元中與有限元網(wǎng)格接觸的所有粒子的位置，這有時(shí)會(huì)產(chǎn)生不必要的粒子運(yùn)動(dòng)。

由于光滑顆粒流體力學(xué)(SPH)具有真正的無網(wǎng)格特性，因此當(dāng)FEM與SPH耦合時(shí)不存在這種不準(zhǔn)確性。與MPM一樣，SPH也采用粒子元素，但粒子不綁定到網(wǎng)格，這允許動(dòng)態(tài)粒子細(xì)化和粗化。SPH是一種連續(xù)體無網(wǎng)格數(shù)值方法，非常適合于涉及流體或顆粒介質(zhì)等流動(dòng)材料的大變形問題。SPH基于流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日描述，其中流體由一組根據(jù)動(dòng)量平衡方程運(yùn)動(dòng)的粒子表示。求解這些方程需要搜索每個(gè)粒子最近的鄰居。DEM在模擬單個(gè)粒子相互作用和解析詳細(xì)的接觸力學(xué)方面非常準(zhǔn)確，非常適合小型到中等規(guī)模的系統(tǒng);然而，它的計(jì)算成本與粒子數(shù)的比例很低，限制了它對(duì)大規(guī)模問題的適用性。研究發(fā)現(xiàn)，DEM和SPH對(duì)于顆粒柱崩塌和顆粒沉降等經(jīng)典顆粒流動(dòng)問題具有相似的精度。MPM結(jié)合了拉格朗日和歐拉方法，有利于捕獲大變形和復(fù)雜的邊界相互作用，但它可能受到數(shù)值問題的影響，如顆粒聚類或應(yīng)力傳遞不準(zhǔn)確。在Arduino (2018)， Fern et al.(2019)中進(jìn)一步詳細(xì)討論了MPM和SPH方法的一些特征。SPH方法作為一種完全基于拉格朗日粒子的方法，在處理自由表面流動(dòng)和高度變形系統(tǒng)方面具有最佳性能，為連續(xù)顆粒流動(dòng)提供了魯棒的解決方案;然而，其精度可能受到核平滑偽影的限制，并且其計(jì)算成本雖然低于大規(guī)模系統(tǒng)的DEM，但仍然顯著。效率不僅取決于計(jì)算方法，而且取決于它的實(shí)現(xiàn)。因此，軟件(ANSYS，基于matlab的實(shí)驗(yàn)室開發(fā)代碼，或其他)和硬件(核數(shù)，CPU vs GPU等)的選擇也非常重要。在本研究中，代碼利用了MATLA提供的CPU并行化。

SPH規(guī)范中采用了多種土本構(gòu)模型來研究大變形地質(zhì)力學(xué)問題。SPH在可壓縮和近不可壓縮介質(zhì)中的動(dòng)力學(xué)問題上顯示出了顯著的準(zhǔn)確性。特別是，基于黎曼解算器的空間離散化可以避免非物理靜水壓力波動(dòng)、沙漏現(xiàn)象以及與缺乏守恒、一致性、穩(wěn)定性或收斂性相關(guān)的數(shù)值問題。此外，數(shù)值應(yīng)力擴(kuò)散方程有效地消除了SPH模擬中的虛假應(yīng)力波動(dòng)。由于SPH最初是為流體動(dòng)力學(xué)開發(fā)的，幾個(gè)研究小組用它來模擬土壤液化。例如，飽和水土壤的孔隙流體采用SPH建模，其中每個(gè)流體顆粒都受到由固體骨架位移場計(jì)算的加權(quán)阻力，其本身采用離散元法(DEM)建模。在另一種SPH方法中，用彈塑性SPH土顆粒進(jìn)行模擬，將超過一定塑性應(yīng)變水平的顆粒轉(zhuǎn)化為服從非牛頓流變的流體狀態(tài)的顆粒。Biot的孔隙力學(xué)方程采用半隱式SPH算法實(shí)現(xiàn)，并允許模擬邊坡破壞。在這種方法中，達(dá)西的阻力被隱式地更新了，減輕了滲透率，時(shí)間增量受限。通過賦予SPH顆粒有效應(yīng)力和吸力的本構(gòu)行為，SPH擴(kuò)展到非飽和土。還開發(fā)了一個(gè)SPH模型來模擬飽和土壤對(duì)地震波的響應(yīng)，其中柔性基礎(chǔ)和自由場邊界專門用于地震分析。盡管最近基于并行化和圖形處理單元(GPU)使用， SPH在計(jì)算上仍然相對(duì)昂貴。此外，在準(zhǔn)靜態(tài)條件下，SPH的性能不如FEM，因此，在加載速率相對(duì)于材料變形速率較低的問題上，SPH的吸引力不如FEM。事實(shí)上，固體力學(xué)問題的SPH精度仍然是一個(gè)正在進(jìn)行的研究和爭論的話題，特別是在準(zhǔn)靜態(tài)條件下。為了在固體力學(xué)中應(yīng)用SPH，動(dòng)量平衡方程被修改以考慮固體行為，這是由彈性、塑性或損傷的本構(gòu)方程建模的。通過耦合SPH/DDA(間斷變形分析)，可以模擬滑坡過程中土壤(用SPH建模)與剛性巖塊(用DDA建模)之間的相互作用或模擬經(jīng)歷剛體運(yùn)動(dòng)的流體和土壤體積之間的相互作用。用SPH模擬可變形固體表面或可變形固體與顆粒介質(zhì)之間的界面仍然具有挑戰(zhàn)性，這限制了SPH可以研究的土-結(jié)構(gòu)相互作用問題的范圍。例如，在SPH模擬中，必須將固體入侵者建模為剛性邊界，這樣就可以忽略與土壤相互作用的剛性固體結(jié)構(gòu)的小應(yīng)變變形?？梢杂肧PH顆粒來模擬固體結(jié)構(gòu)，并將純彈性本構(gòu)定律賦予固體，但小應(yīng)變固體模型需要大量SPH顆粒，因此自由度較大。為了緩解這一問題，一些作者提出了將SPH方法與FEM相結(jié)合的策略，但迄今為止，這些策略的實(shí)際應(yīng)用有限。SPH和FEM方法相結(jié)合，用于研究切割或爆炸載荷，以及固/流體相互作用。土的動(dòng)態(tài)壓實(shí)和土體的準(zhǔn)靜態(tài)拱起分別在加載邊界附近采用SPH模型，在遠(yuǎn)場采用FEM模型。本文作者采用FEM與SPH相結(jié)合的方法模擬了復(fù)合錨桿侵入土體，但在最高圍壓下，模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不匹配。模擬約束條件下土體與可變形固體侵入體之間的準(zhǔn)靜態(tài)相互作用仍然具有挑戰(zhàn)性。

在此，我們提出了一種將SPH方法與FEM相結(jié)合的新方法，并在MATLAB中實(shí)現(xiàn)了SPH/FEA模型，以模擬在準(zhǔn)靜態(tài)條件下受到大變形的剛性可變形固體(用FEM建模)與宿主顆粒介質(zhì)(用SPH建模)之間的相互作用。SPH控制方程在第2節(jié)中描述。本文提出的SPH/FEA耦合分辨率算法的原理見第3節(jié)。第4節(jié)詳細(xì)介紹了SPH邊界條件和初始應(yīng)力場條件的實(shí)現(xiàn)。我們使用提出的SPH/FEA來模擬各種應(yīng)力路徑和地質(zhì)力學(xué)中感興趣的邊值問題，例如雙軸壓縮問題、淺基礎(chǔ)承載力問題和土壤上的輪式運(yùn)動(dòng)問題。結(jié)果將在第5節(jié)中討論。

結(jié)論：

提出了一種魯棒的的MATLAB求解器，將光滑顆粒流體力學(xué)(SPH)和有限元分析(FEA)有效地結(jié)合起來，用于模擬各種類型的地質(zhì)力學(xué)問題。SPH和FEA域之間的相互作用通過懲罰方法處理，即使用顆粒穿透距離來計(jì)算FE固體與顆粒接觸時(shí)施加的反應(yīng)。懲罰方法保證了質(zhì)量守恒。

在自由表面、固體邊界和SPH/FEA界面處引入鬼粒子保持了邊界和界面附近的粒子采樣精度。本文的另一個(gè)重要貢獻(xiàn)是提出了在SPH/FEA模型中應(yīng)用初始應(yīng)力場的方法，該方法可以模擬約束條件下的加載試驗(yàn)，這在以往的研究中很少使用SPH進(jìn)行模擬。

通過對(duì)Terzaghi承載力方程的淺基礎(chǔ)模型進(jìn)行基準(zhǔn)測試，驗(yàn)證了SPH/FEA方法的有效性。該方法隨后被用于模擬入侵和推進(jìn)。SPH/FEA方法成功地捕捉到邊坡臨近時(shí)地基承載力的下降，預(yù)測的承載力系數(shù)與文獻(xiàn)一致。SPH/FEA還允許在顆?；迳夏M輪式運(yùn)動(dòng)，并捕獲滑移和推進(jìn)之間的轉(zhuǎn)換，作為恒定施加水平速度下施加角速度的函數(shù)。我們認(rèn)為SPH/FEA對(duì)土壤速度場的預(yù)測比通過阻力理論(RFT)得到的預(yù)測更真實(shí)，因?yàn)镾PH/FEA可以成功地捕捉到在不同旋轉(zhuǎn)速度下固體輪與顆?；逯g的接觸或失去接觸。

所提出的SPH/FEA方法利用了MATLAB的并行計(jì)算工具箱。模擬在一個(gè)40核的CPU上運(yùn)行。對(duì)于中等規(guī)模的問題，此設(shè)置具有可接受的性能。這種設(shè)置下的模擬時(shí)間與SPH粒子的數(shù)量近似成線性關(guān)系。這主要是因?yàn)槟M是準(zhǔn)靜態(tài)的，這避免了在每個(gè)時(shí)間步執(zhí)行全鄰居搜索。該策略顯著降低了SPH域全鄰域搜索和SPH/FEA接口入侵檢測的計(jì)算量。雖然這種設(shè)置對(duì)于可以簡化為2D問題的2D或3D問題有效，但完整的3D模擬將需要處理更多的粒子。通過將計(jì)算遷移到基于gpu的架構(gòu)以利用其并行處理能力，可以潛在地改進(jìn)該模型。盡管MATLAB通過gpuArray和一組兼容GPU的函數(shù)來支持GPU計(jì)算，但本研究開發(fā)的代碼中包含了許多目前與GPU執(zhí)行不兼容的自定義函數(shù)。此外，由于CPU和GPU之間的數(shù)據(jù)傳輸瓶頸，MATLAB中的CPU - GPU混合方法往往存在效率低下的問題。因此，擴(kuò)展SPH/FEA方法可以通過以下方式來處理:(i)隨著MATLAB逐漸增強(qiáng)其GPU對(duì)復(fù)雜數(shù)值運(yùn)算的支持，未來遷移到全GPU計(jì)算;或者(ii)向外擴(kuò)展到具有數(shù)百個(gè)CPU內(nèi)核的高性能計(jì)算集群，這些集群可以很容易地部署到大型和復(fù)雜的問題中。

雖然本文提出的模型沒有與其他SPH模型(如SPH/DEM方法)進(jìn)行基準(zhǔn)測試，但在未來的工作中這樣做可能會(huì)很有趣。SPH/FEA求解器的開發(fā)和驗(yàn)證為其在更復(fù)雜的工程問題中的應(yīng)用鋪平了道路，例如開挖過程中工具/土壤相互作用的研究，錨桿安裝和使用的建模以及鉸接實(shí)體地下運(yùn)動(dòng)的模擬。值得注意的是，本研究中開發(fā)的MATLAB程序利用了并行處理和GPU加速的優(yōu)勢，并且可以開放獲取。